L.Euler Principes généraux
du mouvement des fluides// Mémoires de l'Académie royale
des sciences et belles lettres, Berlin, 1757. T. 11 (1755).
P. 274–315 = Opera omnia, Ser. II. Vol. 12.
P. 54–91.
Перевод с французского
З. Н. Добровольской. Примечания Г. К. Михайлова и
Г. Ю. Степанова.
Для того чтобы ответить на вопрос: «Что же сделал Эйлер?», ниже приводится фрагмент из очерка И. Б. Погребысского (1906—1971) «К истории механики XVIII столетия».
<...> Мы привыкли говорить о механике Ньютона, о ньютоновых аксиомах движения и переходим от них к дифференциальным уравнениям движения (по крайней мере для материальной точки) в течение двухчасовой лекции, если не короче. Эти уравнения для нас являются точным эквивалентом второго закона Ньютона, а поскольку Ньютон является одним из основателей анализа бесконечно малых, то, естественно, складывается впечатление, что мы получили эти уравнения от него. Поэтому хочется тут же подчеркнуть, что «ньютоновых дифференциальных уравнений движения» у Ньютона нет и вообще Ньютон в явном виде не применял систематически анализа бесконечно малых в механике. Его знаменитые «Начала» действительно «составляют надежную основу общей механики» (А. Зоммерфельд). Но все решения механических задач проведены методами синтетически-геометрическими, задачи и исходные зависимости формулируются тоже геометрически. Короче: соединения созданных основ механики и методов математического анализа Ньютон не дал.
Это соединение — историческая заслуга Эйлера, и, нам кажется, есть основания считать, что уже к концу базельского периода Эйлер хорошо понимал необходимость такого объединения и разрабатывал соответствующую программу действий.
|
Леонард Эйлер
(1707—1783) |
Чтобы точнее представить себе механику такой, какой она была в начале научной деятельности Эйлера, напомним, что основные достижения Ньютона в решении отдельных задач относятся к механике точки; что ни в механике точки, ни в механике системы материальных точек не применялись неподвижные системы координат (Ньютон каждый раз с гениальной изобретательностью составлял нужные ему исходные соотношения для тангенциальных и нормальных составляющих); что в механике твердого тела удалось исследовать только вращение тела вокруг неподвижной оси; что в механике изменяющихся сред все попытки составить общие уравнения движения для упругих тел и жидкостей оказались в то время неудачными; что в акустике (тогда равнозначной с динамикой газов) теория дала существенное расхождение с экспериментом при вычислении скорости звука; что даже при упрощенной одномерной постановке динамика изменяющихся сред делала только первые шаги; что не было ни одной книги, ни одного учебника или трактата по аналитической механике. Вместе с тем физика и техника выдвигали как наиболее настоятельные проблемы изучение движения материальной точки в среде с сопротивлением (теория маятника, баллистика), переход в этой задаче от точки к твердому телу (баллистика), расчет движения жидкостей (водяные двигатели, строительство каналов, шлюзов), объяснение расхождения теории с экспериментом в вопросе о скорости звука, создании надежных основ для упругостатических расчетов (строительное дело).
<...> Эйлер занимался теорией жидкостей уже в начале своей научной деятельности. Но эти исследования находились с современной точки зрения еще в пределах гидравлики. Нужно принять во внимание, что в знаменитой «Гидродинамике» Даниила Бернулли, вышедшей из печати в 1738 г. и являющейся итогом гидродинамических и гидравлических исследований ее автора, нет еще понятия внутреннего давления в жидкости, нет никаких общих уравнений движения. Исходным пунктом в исследованиях Д. Бернулли является упрощенная гипотеза параллельных сечении (это сводит рассмотрение задачи к одномерным) вместе с законом живых сил, который Д. Бернулли широко использует. Поэтому его отец, Иоганн Бернулли, имел основание писать, публикуя в 1743 г. свою «Гидравлику»5, что исследования сына построены на «косвенных основаниях» и именно поэтому он, отец, искал и нашел «прямой метод, который основывается только на таких динамических принципах, которые никто не оспаривает»6. В связи с этим полное название книги И. Бернулли: «Гидравлика, теперь впервые открытая и обоснованная на исключительно механической основе». А Эйлер еще в 1738 г. узнал об исследованиях И. Бернулли и обратился к нему с просьбой познакомить его с этой новой и исправленной теорией жидкостей. Эйлер признавал, что он сам, давно осознав недостатки этой теории, напрасно направлял все свои усилия на то, «чтобы найти естественный метод». И когда И. Бернулли прислал ему первую часть своих гидравлических исследований, Эйлер писал своему старому учителю (письмо от 5 мая 1739 г.), что тот осветил для него этот вопрос «ярчайшим светом, потому что раньше этот предмет был скрыт от меня в густой мгле и уяснить что-либо можно было только с помощью косвенного метода».
Что же нового увидел Эйлер в работе И. Бернулли? Этим новым было то, что последний непосредственно рассматривал бесконечно малый элемент жидкости и применял к такому элементу основное соотношение между силой, массой и ускорением. Именно таким образом он сводил задачу к дифференциальному уравнению.
Эта простая идея теперь кажется совершенно очевидной. Но чтобы ее справедливо оценить, нужно вспомнить, как это подчеркивает Трусделл в цитированной работе, что она требовала такого глубокого проникновения в суть вопроса, которого не достигли предшественники И. Бернулли и среди них — Ньютон, Клеро, Д. Бернулли. Последний даже не смог правильно оценить метод своего отца, и только Эйлер сразу увидел, какое значение имеет этот метод.
Но И. Бернулли сделал только первый шаг в верном направлении: он не мог поставить пространственную задачу и ограничился одномерным случаем. Пойти дальше по этому пути и дойти до общих уравнений движения идеальной жидкости стало одним из основных достижений Эйлера. Однако путь этот был долгим и извилистым.
Мы не имеем тут возможности проследить за всеми его этапами, хотя это чрезвычайно поучительный раздел истории математических наук, а исключительная откровенность Эйлера облегчает анализ его сочинений. Не будем также сопоставлять работы Эйлера с исследованиями Клеро и Даламбера, которые немало содействовали развитию гидростатики и гидродинамики. Выделим лишь несколько этапов творчества Эйлера, связанных один с другим долгими и напряженными исканиями.
|
Леонард Эйлер.
С гравюры 1835 г.
(коллекция Грейнджера) |
<...> В 1750 г. он написал работу под названием «Открытие нового принципа механики»7. Что же это за новый принцип, о котором, к слову сказать, Эйлер говорит, что его можно рассматривать как единственное основание всей механики и всех других наук, изучающих движение каких-либо тел? Если мы присмотримся к формулам, в которых воплощен этот принцип, то увидим, что это «ньютоновы» дифференциальные уравнения движения бесконечно малой массы, положение которой определяется в общем случае тремя декартовыми ортогональными координатами. Было ли здесь что-то действительно повое?
Мы уже отмечали, что «ньютоновых уравнений» движения у Ньютона не было. Не было их и в эйлеровой «Механике» 1736 г. Следуя за Лагранжем8, обычно считают, что первым применил в механике неподвижную пространственную декартову ортогональную систему Маклорен в изданном в 1742 г. «Трактате о флюксиях». Но Маклорен был, как и Робинс, большим приверженцем методов греческих геометров. Не удивительно, как пишет Трусделл, что в книге Маклорена дифференциальные уравнения тщательно спрятаны в буквенных обозначениях и рисунках. Клеро и Даламбер также применяли неподвижную пространственную декартову систему координат, но в механике они исходили из иной системы основных принципов, избегая понятия силы. Во всяком случае, Трусделл на основе внимательного ознакомления с литературой эпохи утверждает, что именно в этой работе Эйлера содержится первая общая формулировка «ньютоновых уравнений». При этом «Эйлер не претендует на то, что уравнения новы, а на то, что он первый установил их общность, в применении к элементу объема, для всех типов тел».
Уже в следующем поколении это казалось настолько само собой разумеющимся, что стало безымянным. Лагранж, указывая на Маклорена, не вспоминает Эйлера, когда пишет: «Этот прием составления уравнений движения тела, находящегося под действием каких-либо сил, путем сведения этого движения к прямолинейным движениям, следует благодаря его простоте предпочесть всем другим приемам; поэтому он должен был бы возникнуть раньше других. В настоящее время он является общепринятым»9.
|
Леонард Эйлер,
портрет 1753 года, выполненный
Эмануелем Гандманном,
Kunstmuseum, Базель |
Но на пути Эйлера было еще одно препятствие. Переход от механики точки к механике континуума его предшественники и современники пытались осуществить на основе молекулярных представлений. Материальные точки — это корпускулы (тельца) и центры сил. Иначе говоря, имели в виду, собственно, не механику континуума, а механику на уровне молекулярного строения вещества. Для успешного решения такой проблемы в то время не была еще подготовлена почва ни в физике, ни в математике. Огромным достижением Эйлера в математической физике является то, что он смог преодолеть традицию и найти новый плодотворный подход: подход с точки зрения теории поля (по современной терминологии). Такой подход можно заметить и в некоторых работах Эйлера 40-х годов; вполне четко он выступает в классической работе 1753 г. «Общие принципы состояния равновесия жидкостей»10. В ее первых параграфах (см. особенно § 5, 8) Эйлер окончательно освободился от корпускулярной традиции и настаивает на том, что принципы механики нужно применять непосредственно к реальным телам, исходя из непрерывного распределения в них вещества. В этой континуальной модели корпускула становится математической точкой — носителем трех координат, и только.
Благодаря такой точке зрения Эйлер смог преодолеть еще один барьер, который не смогли преодолеть его предшественники: представить внутреннее давление жидкости в общем виде, как величину, определенную в каждой точке объема жидкости, и таким образом прийти к действительной системе гидродинамических переменных. Теперь, наконец, он преодолел «недостаточность принципов»! Его введение к выше цитированной работе отражает чувства человека, который после долгих и утомительных блужданий вышел на широкий путь и обрел уверенность в том, что достигнет своей цели. Он подчеркивает, что установленные им принципы сохраняют силу для жидкостей несжимаемых и сжимаемых, когда на жидкость действуют силы тяжести и когда действуют какие-либо другие внешние силы. И он не боится, что его упрекнут в чрезмерной всеобщности. «Я согласен,— пишет он,— что часто такая всеобщность скорее затемняет, нежели проясняет, ибо ведет к настолько запутанным вычислениям, что трудно сделать выводы даже в самых простых случаях». Но «всеобщность, которую я ввожу, не затемняет нам предмет, а открывает действительные законы природы во всем их блеске, и мы находим еще более веские основания для того, чтобы восхищаться их красотой и простотой».
1 В этом же году открывается Московский
университет, М.В.Ломоносов заканчивает свою
«Российскую грамматику» (которая вышла, как и мемуар
Эйлера, в 1757 г.), а в Англии выходит
A Dictionary of the English Language
Сэмюэля Джонсона. (Назад)
2 В гидравлическом приближении
уравнение неразрывности для установившегося течения несжимаемой
жидкости было известно ещё Леонардо да Винчи, писавшему, что
«вода, которая течет между берегами одинаковой ширины, будет
иметь тем меньшую глубину, чем быстрее ее течение» и что
«насколько увеличишь реку в ширину, настолько уменьшишь скорость
течения». Однако результаты Леонардо не были известны до 19 века
и не повлияли на развитие науки. Позже уравнение неразрывности в этом
случае было получено итальянским математиком и астрономом, учеником
Галилея и учителем Торричелли и Кавальери Бенедиктом (Бенедетто)
Кастелли (ок. 1577–ок. 1644). Свои результаты Кастелли
опубликовал в книге «Об измерении текущих вод» (Рим, 1628), которая была переведена на
английский (1661) и французский (1664). Кастелли писал: «Через
сечения одной и той же реки за равные времена протекают одинаковые
количества воды, даже если сами сечения не равны. <...> Для двух
неравных сечений, через которые протекают одинаковые количества воды,
сечения обратно пропорциональны скоростям». Для несжимаемой жидкости уравнение
неразрывности в современном виде было получено Эйлером около 1752 г.
(Назад)
3 Уравнения равновесия жидкости и газа
были получены Эйлером в 1753 г.
(Principes généraux
de l'état d'équilibre des fluides; опубликовано в том же
томе, что и предлагаемый мемуар), хотя некоторые частные решения
уравнений равновесия были известны и раньше. Например, гидростатический закон — решение уравнений рановесия несжимаемой жидкости в поле силы тяжести — был установлен Симоном Стевином в 1586 г., закон Паскаля — решение уравнений равновесия для несжимаемой жидкости в отсутствие массовых сил — был опубликован в 1663 г. (после смерти Паскаля; фактически этот закон был известен и его предшественникам), барометрическая формула — решение уравнений для сжимаемой жидкости в поле тяжести — была установлена Галлеем (Назад)
4 В своём третьем мемуаре, помещённом
в том же томе трудов Берлинской академии (Continuation
des recherches sur la théorie du mouvement des fluides),
Эйлер фактически получил интеграл Бернулли для сжимаемых жидкостей
(в форме дифференциального соотношения dp/ρ=dU-v dv вдоль линии тока, где U — потенциал массовых сил).
Для несжимаемой жидкости этот интеграл был установлен, как известно, Даниилом
Бернулли в 1738 г. (Назад)
Дальнейшие примечания принадлежат И. Б. Погребысскому.
5 Следует помнить, что тогда и почти до конца XVIII столетия термин «гидравлика» имел то же значение, что теперь гидродинамика, в отличие от гидростатики. Слово «гидродинамика» в его современном понимании стали употреблять главным образом благодаря успеху книги Д. Бернулли. (Назад)
6 Напомним, что тогда «живая сила» как «мера движения» была еще предметом споров между сторонниками Лейбница и Декарта. (Назад)
7 L. Euler. Découverte d'un nouveau principe de mécanique.— «Mémoires Acad. sc. Berlin», v. 6 (1750), 1752, p. 185–217. — Opera Omnia, ser. II, v. V. [В этой работе Эйлер впервые выводит формулу для распределения скоростей в твёрдом теле с неподвижной точкой — «формулу Эйлера»: v=[ω×r]] (Назад)
8 Ж. Л. Лагранж. Аналитическая механика, т. 1. М.–Л., 1950, с. 298. (Назад)
9 Там же. (Назад)
10 L. Euler. Principes généraux de l'état d'équilibre des fluides.— «Мémoires Acad. sc. Berlin», 1755. — Opera Omnia, ser. II, v. XII. (Назад)
Благодарим
Александра Сергеевича Кулешова
и Фатиму Дюфренэ (Fatima Dufreney)
за помощь.